\documentclass{personnel}
\activites

\begin{document}

\titrelegende{Révisions de Bac 2015 -- Exercice}{1}{Transferts thermiques}

\section*{Exercice 1 -- Construction d'une maison passive (7 points)}

\begin{multicols}{2}

Sensibles à la nécessaire réduction des émissions des gaz à effet de serre autant qu'à l'économie financière réalisée, les particuliers désireux de faire construire leur maison d'habitation s'orientent de plus en plus vers l'écoconstruction.

Pour maitriser au mieux la dépense énergétique, plusieurs points de vigilance sont à considérer: l'isolation, la ventilation, la qualité des ouvertures et la maitrise des ponts thermiques (endroits du bâtiment où la chaleur s'échappe plus vite).

\begin{123item}
\item \textbf{Isolation et chauffage}
\end{123item}

L'étude porte sur une maison, sans étage et de surface habitable $\SI{68}{\meter^{2}}$, dont l'isolation du sol, des murs extérieurs et des combles (espaces sous la toiture) est prévue selon les données du tableau suivant:

\end{multicols}

\mapetitecaptiontab{Constitution des parois de la maison, et leurs caractéristiques.}

\begin{center}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|}
\hline
& \minitableau{Surface \\ (\si{\meter^{2}})} & Matériaux & \minitableau{Épaisseur \\ (\si{\centi\meter})} & \minitableau{Conductivité \\ thermique $\lambda$ \\ ($\si{\wpmpk}$)} & \minitableau{Résistance \\ thermique \\ (S. I.)} \\
\hline
\hline
\multirow{2}*{Sol} & \multirow{2}*{70} & \multirow{2}*{mortier chaux} & \multirow{2}*{25} & \multirow{2}*{0,17} & \multirow{2}*{0,021} \\
& & & & & \\
\hline
Vitres & 15 & \minitableau{triple vitrage \\ verre/air} & 3,6 & 0,023 & 0,10 \\
\hline
\multirow{4}*{\minitableau{Combles \\ (espaces \\ sous la \\ toiture)}} & \multirow{4}*{79} & \multirow{2}*{gypse/cellulose} & \multirow{2}*{1,3} & \multirow{2}*{0,35} & \multirow{4}*{0,053} \\
& & & & & \\
\cline{3-5}
& & \minitableau{granulé de \\ chanvre} & 20 & 0,048 & \\
\hline
\multirow{10}*{\minitableau{Murs \\ extérieurs}} & \multirow{10}*{85} & \multirow{2}*{enduit plâtre} & \multirow{2}*{1,5} & \multirow{2}*{0,50} & \\
& & & & & \\
\cline{3-5}
& & \minitableau{briques \\ plâtrières} & 5,0 & 0,80 & \\
\cline{3-5}
& & \minitableau{panneaux liège \\ expansé} & 6,0 & 0,040 & \\
\cline{3-5}
& & \minitableau{brique creuse \\ standard} & 20 & 0,60 & \\
\cline{3-5}
& & \minitableau{enduit \\ sable/chaux} & 2,5 & 1,05 & \\
\hline
\end{tabular}
\end{center}

\begin{multicols}{2}

\textbf{Définition d'une maison passive}

On dit d'une maison qu'elle est passive lorsque ses besoins en chauffage sont inférieurs à \SI{15}{\kWh} par \si{\meter^{2}} habitable et par an, contre 250 à \SI{300}{\kWh} par \si{\meter^{2}} habitable et par an en moyenne pour les besoins en chauffage d'un bâtiment classique.

Donnée: \SI{1}{\kWh} correspond à \SI{3,6}{\mega\joule}.

\begin{source}
D'après le site \verb**http://fr.ekopédia.org*
\end{source}

\textbf{Résistance thermique d'une paroi d'isolation}

La résistance thermique $R_{\text{th}}$ d'une paroi plane a pour expression:

\[R_{\text{th}}=\frac{e}{\lambda\cdot S}\]

où $e$ est l'épaisseur du matériau (\si{\meter}), $\lambda$ la conductivité thermique caractérisant le matériau ($\si{\wpmpk}$) et $S$ la surface de la paroi ($\si{\meter^{2}}$).

En pratique, une paroi est constituée de plusieurs couches de matériaux d'épaisseur et de conductivité différentes. Dans ce cas, les résistances thermiques de chaque couche s'additionnent.

\textbf{Flux thermique}

Le flux thermique $\Phi$, exprimé en watt (\si{\watt}), est l'énergie transférée à travers la paroi par unité de temps. Son expression est:

\[\Phi=\frac{Q}{\Delta t}\]

où $Q$ est l'énergie thermique en joule (\si{\joule}) et $\Delta t$ le temps en seconde (\si{\second}).

Lorsque les températures extérieure $T_{\text{e}}$ et intérieure $T_{\text{i}}$ sont constantes au cours du temps, avec $T_{\text{i}}>T_{\text{e}}$, le flux thermique peut s'exprimer aussi par:

\[\Phi=\frac{T_{\text{i}}-T_{\text{e}}}{R_{\text{th}}}\]

où $R_{\text{th}}$ est la résistance thermique de la paroi considérée.

\begin{123item}
\item 
  \begin{sous123item}
  \item Déterminer, par analyse dimensionnelle, l'unité d'une résistance thermique.
  \item Pour une surface donnée à isoler, expliquer qualitativement dans quel sens doivent évoluer les caractéristiques d'une paroi pour augmenter l'isolation de l'habitation.
  \item Calculer la résistance thermique des murs extérieurs $R_{\text{m}}$, en précisant l'unité.
  \item Pour obtenir une résistance thermique identique à celle des combles, quelle devrait être la valeur de l'épaisseur d'une couche de laine de verre de conductivité thermique $\lambda_{\text{lv}}=\SI{0,038}{\wpmpk}$?
  
On suppose que l'on utilise uniquement ce matériau.
  \item Dans la région où est prévue la construction de la maison, la température extérieure moyenne du sol en hiver est d'environ \SI{10}{\degreeCelsius} et celle de l'air extérieur, \SI{4}{\degreeCelsius}.
  
Un poêle à bois maintient la température intérieure de la maison constante à $T_{\text{i}}=\SI{19}{\degreeCelsius}$. Pendant une journée, les valeurs des transferts thermiques sont alors:
  
    \begin{itemize}
    \item pour les murs extérieurs: $Q_{\text{m}}=\SI{56}{\mega\joule}$;
    \item pour les vitres: $Q_{\text{v}}$;
    \item pour le sol: $Q_{\text{s}}=\SI{37}{\mega\joule}$;
    \item pour les combles: $Q_{\text{c}}=\SI{24}{\mega\joule}$.
    \end{itemize}
    
    \begin{ss123item}
    \item Préciser le sens dans lequel s'effectuent les transferts thermiques.
    \item Calculer $Q_{\text{v}}$; en déduire la valeur de la chaleur fournie par un poêle à bois pendant une journée.
    \end{ss123item}
  
  \item Dans ces conditions, si, par an, la période de chauffage dure \SI{100}{\text{jours}}, peut-on considérer la maison comme passive?
  \end{sous123item}

\columnbreak
\item  \textbf{Incident sur le chantier}
\end{123item}

Une grue soulève un sac de sable. Le câble cède lorsque le sac est à une hauteur $h$ par rapport au sol. Le sac tombe alors en chute libre avec une vitesse initiale supposée nulle. Au même moment, un technicien, équipé des protections réglementaires et situé à une distance $d$ du point de chute du sac, se déplace à vitesse constante en direction du point d'impact du sac avec le sol.

Le sac et le technicien sont repérés par leurs centres respectifs.

Le référentiel terrestre est supposé galiléen et on lui associe le repère $(\text{O},\vec{i},\vec{j})$: O point d'impact du sac avec le sol, $\vec{i}$ horizontal et $\vec{j}$ vertical vers le haut. Le technicien se déplace donc parallèlement avec l'axe des $x$.

{\itshape{}Données}:

  \begin{itemize}
  \item intensité de la pesanteur: $g=\SI{9,8}{\uacceleration}$;
  \item hauteur initiale du centre du sac de sable: $h=\SI{6,2}{\meter}$;
  \item distance initiale entre le technicien et le point de chute du sac de sable: $d=\SI{2,5}{\meter}$;
  \item vitesse de déplacement du technicien: $v_{\text{tech}}=\SI{1,1}{\meter\per\second}$.
  \end{itemize}

\begin{123item}
\setcounter{123num}{1}
\item 
  \begin{sous123item}
  \item Faire un schéma de la situation initiale sans souci d'échelle en représentant notamment le vecteur vitesse associé au déplacement du technicien ainsi que les distances $h$ et $d$.
  \item Montrer que, selon l'axe vertical, l'équation horaire du mouvement du centre du sac de sable est:
  
  \[y_{\text{s}}=-4,9\cdot t^{2}+6,2\]
  
  avec $y_{\text{s}}$ en mètre (\si{\meter}) et $t$ en seconde (\si{\second}).
  
  \item Cette situation entraîne-t-elle un risque d'accident corporel sur le chantier pour le
technicien?
  
  \end{sous123item}

\end{123item}

{\itshape{}Le candidat est évalué sur ses capacités à concevoir et à mettre en œuvre une démarche de résolution.
  
Toutes les prises d'initiative et toutes les tentatives de résolution, même partielles, seront valorisées.}
  
\end{multicols}

\newpage
\titrelegende{Correction des révisions de Bac 2015 -- Exercice}{1}{Transferts thermiques}

\section*{Exercice 1 -- Construction d'une maison passive}

\begin{multicols}{2}

\begin{123item}

\item 
  \begin{sous123item}
  \item Analyse dimensionnelle:
  
  \[\begin{resultat}
    \grand\left[R_{\text{th}}\right] & \grand\left[\frac{e}{\lambda\cdot S}\right] \\
    \grandarray\left[R_{\text{th}}\right] & \grand\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{W\cdot m^{-1}\cdot K^{-1}\cdot m^{2}}} \\
    \grandarray\left[R_{\text{th}}\right] & \grand\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{W\cdot m\cdot K^{-1}}} \\
    \grandarray\left[R_{\text{th}}\right] & \grand\mathrm{K\cdot W^{-1}}
    \end{resultat}\]
    
  \item Pour améliorer l'isolation, il faut \textbf{augmenter} la résistance thermique $R_{\text{th}}$. La résistance thermique est donnée par la formule:
  
  \[R_{\text{th}}=\frac{e}{\lambda\cdot S}\]
  
  Donc, il faut:
  
    \begin{itemize}
    \item augmenter l'épaisseur $e$ des matériaux isolants;
    \item diminuer leur conductivité thermique $\lambda$.
    \end{itemize}
    
  En général, il n'est pas possible de modifier $S$, à moins de détruire le mur pour en construire un plus petit!
  
  \item Les murs extérieurs sont formés de cinq parois.
  
  Il faut additionner les résistances thermiques de chaque paroi, résistances calculées avec la formule précédente.
  
  Comme la surface $S=\SI{85}{\meter^{2}}$ est commune aux cinq parois, on peut factoriser, sans oublier la conversion en mètre pour l'épaisseur des parois:
  
  \[\begin{resultat}
    \grand{}R_{\text{m}} & \grand\sum_{i}\frac{e_{i}}{\lambda_{i}}\frac{1}{S} \\
    \grand{}R_{\text{m}} & \grandarray\left(\frac{\num{1,5}}{0,50}+\frac{\num{5,0}}{0,80}+\frac{\num{6,0}}{0,040}+\frac{\num{20}}{0,60}+\frac{\num{2,5}}{1,05}\right) \\
    \multicolumn{2}{r}{\grandarray\times\frac{\num{e-2}}{85}} \\
    \grand{}R_{\text{m}} & \grandarray\SI{0,023}{\kelvin\!\cdot\!{}\watt^{-1}}
    \end{resultat}\]
  
  \item Calculons l'épaisseur de laine de verre qui permette une résistance thermique $R_{\text{combles}}=\SI{0,053}{\kelvin\!\cdot\!{}\watt^{-1}}$ \textbf{inchangée}:
  
  \[\begin{resultat}
    \grand{}R_{\text{combles}}=\frac{e}{\lambda_{\text{lv}}\cdot S}\equivalent e & \grand{}R_{\text{combles}}\cdot\lambda_{\text{lv}}\cdot S \\
    e & \petitarray{}0,053\times 0,038\times 79 \\
    e & \petitarray{}\SI{0,16}{\meter}=\SI{16}{\centi\meter}
    \end{resultat}\]
  
  \item 
    \begin{ss123item}
    \item Les transferts thermiques s'effectuent de l'intérieur (corps chaud à \SI{19}{\degreeCelsius}) vers l'extérieur (corps froids à \SI{4}{\degreeCelsius} et \SI{10}{\degreeCelsius}).
    \item Le flux thermique $\Phi$ à travers les vitres dépend de l'écart des températures et de la résistance thermique des vitres:
    
    \[\Phi=\frac{T_{\text{i}}-T_{\text{e}}}{R_{\text{th}}}\]
    
    Le flux thermique s'exprime comme le transfert thermique $Q_{\text{v}}$ par unité de temps:
    
    \[\Phi=\frac{Q_{\text{v}}}{\Delta t}\equivalent Q_{\text{v}}=\Phi\cdot\Delta t\]
    
    Par conséquent,
    
    \[Q_{\text{v}}=\frac{\left(T_{\text{i}}-T_{\text{e}}\right)\cdot\Delta t}{R_{\text{th}}}\]
    
    Sur une journée de \SI{24}{\hour}:
    
    \[Q_{\text{v}}=\frac{\left(19-4\right)\times 24\times\num{3600}}{0,10}=\SI{13}{\mega\joule}\]
    
    La poële à bois permet de maintenir la température constante: il compense toutes les \textbf{pertes}. Il s'agit d'un système \textbf{fermé} (mais non {\itshape{}isolé}, dans le sens qu'il n'est pas {\itshape{}adiabatique}), auquel on applique le premier principe de la thermodynamique:
    
    \[\fbox{$\Delta U=0$}\]
    
    \[\demiimplique Q_{\text{poële}}+Q_{\text{m}}+Q_{\text{v}}+Q_{\text{s}}+Q_{\text{c}}=0\]
    
    \[\demiequivalent Q_{\text{poële}}=-Q_{\text{m}}-Q_{\text{v}}-Q_{\text{s}}-Q_{\text{c}}\]
    
    Application numérique:
    
    \[\demiimplique Q_{\text{poële}}=56+13+37+24=\SI{130}{\mega\joule}\]
    
    
    \end{ss123item}
  
  \item Calculons la consommation d'énergie dans le chauffage, par mètre-carré, et pour cent jours:
  
  \[\begin{resultat}
    Q_{100} & \grand\frac{\num{130e6}\times 100}{68} \\
    Q_{100} & \grandarray{}\SI{1,9e8}{\joule} \\
    \end{resultat}\]
  
  L'énoncé indique le facteur de conversion entre le joule et le kilowattheure:
  
  \[\SI{1}{\kWh}=\SI{3,6e6}{\joule}\]
  
  \[\demiimplique Q_{100}=\frac{\num{1,9e8}}{\num{3,6e6}}=\SI{53}{\kWh}\]
  
  Les besoins pour une année sont donc de:
  
  \[Q_{365}=\frac{365}{100}\times Q_{100}=\SI{1,9e2}{\kWh}\]
  
  La maison n'est pas «~passive~», car sa consommation d'énergie est supérieure à \SI{15}{\kWh} par mètre carré et par an (tout en étant néanmoins inférieure à celle d'un batiment classique).
  
  \end{sous123item}

\item 
  \begin{sous123item}
  \item Schéma de situation:
  
  \begin{center}
  \begin{tikzpicture}
  \draw[->] (0,0)--(0,4) node[right]{$y$};
  \draw[->] (0,0)--(7,0) node[above]{$x$};
  \fill[black] (0,3) circle(0.1) node[left]{S};
  \fill[black] (4,0) circle(0.1) node[below]{technicien};
  \draw[red,<-] (2,1)--(4,1);
  \draw (3,1) node[above]{\textcolor{red}{$\vec{v}_{tech}$}};
  \draw (0,0) node[below left]{O};
  \draw[<->] (0,-0.75)--(4,-0.75);
  \draw (2,-0.75) node[below]{$d$};
  \draw[<->] (0.5,3)--(0.5,0);
  \draw (0.5,1.5) node[right]{$h$};
  \end{tikzpicture}
  \end{center}
  
  \item Système: \{sac de sable\};
  
  Référentiel: terrestre supposé galiléen;
  
  Bilan des forces: le poids \vect{P} du sac, vertical, vers le bas, au centre d'inertie S, valeur $P=m\cdot{}g$.
  
  Deuxième loi de Newton:
  
  \[\begin{array}{cr!{=}l}
    & \grand\sum\vect{F}\!\!_{\text{ext}} & \grand{}m\cdot\vect{a} \\
    \demiimplique & \moyenarray\vect{P} & \grand{}m\cdot\vect{a} \\
    \demiequivalent & \moyenarray{}m\cdot\vect{g} & \grand{}m\cdot\vect{a} \\
    \demiequivalent & \moyenarray\vect{a} & \grand\vect{g} \\
    \end{array}\]
  
  Projection de la deuxième loi de Newton sur l'axe vertical ascendant $\text{O}y$:
  
  \[a_{y}(t)=-g\]
  
  Première primitive:
  
  \[v_{y}(t)=-g\cdot{}t+v_{0y}\implique v_{y}(t)=-g\cdot{}t\]
  
  La vitesse initiale est nulle, donc la constante d'intégration est $v_{0y}=0$.
  
  Deuxième primitive:
  
  \[y_{\text{s}}(t)=-\frac{1}{2}gt^{2}+y_{0\text{s}}\implique y_{\text{s}}(t)=-\frac{1}{2}gt^{2}+h\]
  
  À l'instant initial de la chute, le sac est à une hauteur $h$, donc la constante d'intégration est $y_{0\text{s}}=h$.
  
  On remplace par les valeurs numériques de l'énoncé:
  
  \[y_{\text{s}}(t)=-4,9\cdot{}t^{2}+6,2\cqfd\]
  
  \item Trouvons la durée $t_{\text{s}}$ de la chute du sac. Lorsque la chute est terminée, le sac touche le sol en $y_{\text{s}}(t_{\text{s}})=0$, donc:
  
  \[\begin{resultat}
    -4,9\cdot{}t_{\text{s}}^{2}+6,2 & 0 \\
    \demiimplique\moyenarray t_{\text{s}} & \grand\sqrt{\frac{6,2}{4,9}}=\SI{1,1}{\second}
    \end{resultat}\]
  
  Le technicien se déplace à vitesse constante $v_{\text{tech}}$, donc sa position $x_{\text{tech}}$ est donné par:
  
  \[x_{\text{tech}}(t)=d-v_{\text{tech}}\cdot{}t=2,5-1,1\cdot{}t\]
  
  À l'instant où le sac touche le sol, le technicien se trouve à une abscisse $x_{\text{tech}}(t_{\text{s}})$ de:
  
  \[x_{\text{tech}}(t_{\text{s}})=2,5-1,1\times{}1,1=\SI{1,3}{\meter}\]
  
  Le technicien ne sera pas touché.
  
  \end{sous123item}
\end{123item}

\end{multicols}

\label{Fin}
\end{document}